$r$-一致凸空间中的 $\alpha$-固非扩张算子

我们在 $r$-一致凸 Banach 空间上引入 $\alpha$-固非扩张与拟 $\alpha$-固非扩张算子的类。这推广了 Hilbert 空间中的已有概念,在 Hilbert 空间中 $\alpha$-固非扩张算子与所谓的 $\alpha$-平均算子一致。对于我们更一般的情形,我们证明 $\alpha$-平均算子构成 $\alpha$-固非扩张算子的一个子集。我们发展了(拟) $\alpha$-固非扩张算子的一些基本演算规则。特别地,我们证明它们的复合与凸组合仍是(拟) $\alpha$-固非扩张的。此外,我们将看到拟 $\alpha$-固非扩张算子具有渐近正则性。随后,基于 Browder 的半闭原理,我们对 $r$-一致凸 Banach 空间证明:当算子 $T$ 为非扩张且拟 $\alpha$-固时,迭代 $x_{n+1}:=Tx_{n}$ 的弱聚点属于不动点集 $\text{Fix} T$。若该空间还具有 Fr\'echet 可微范数或满足 Opial 性质,则这些迭代弱收敛于 $\text{Fix} T$ 中的某元素。进一步,投影 $P_{\text{Fix} T}x_n$ 强收敛于该弱极限点。最后,我们给出三个说明性例子,即来自无限维神经网络、半群理论以及概率测度空间上 $L_p$, $p \in (1,\infty) \backslash \{2\}$ 空间中的压缩投影,可应用我们的理论。