突破不动点方程的复杂度边界：适应收缩与受控扩张

具有 Lipschitz 算子的不动点方程已被研究了一个多世纪，并且是数学优化、博弈论、经济学和动力系统等问题的核心。当算子的 Lipschitz 常数大于 1（即算子是扩张的）时，众所周知，即使在基本的有限维情形下，逼近不动点方程在计算上也变得不可解。在这项工作中，我们旨在突破这些复杂度边界，引入能够处理具有轻度扩张（即 Lipschitz 常数略大于 1）算子问题的算法，这些问题未被现有下界排除，并在通用常数范围内达到最佳可能的不动点误差。我们进一步引入了一类渐进扩张算子，允许点之间常数（高达约 1.4）的扩张，对于此类算子，我们证明了在 $\epsilon > 0$ 时，以 $(1/\epsilon)$ 阶迭代收敛到 $\epsilon$-近似不动点。我们的算法能自动适应算子的 Lipschitz 常数，并在输入算子非扩张或收缩时达到最佳的预言机复杂度界。我们的结果适用于一般的、可能是无限维的赋范向量空间，并可扩展到非正曲率测地度量空间。