关于 CAT(0) 空间中平均算子的一个概念

平均算子在 Hilbert 空间的不动点理论中发挥了重要作用。它们的出现源于一种必要性：求解底层算子非压缩因而无法使用 Banach 不动点定理的不动点问题。我们在更广泛的 $\text{CAT}(0)$ 空间类中引入平均算子的概念。我们称这些算子为 $\alpha$-固非扩张的，并为拟 $\alpha$-固非扩张算子建立基本演算规则。特别地，拟 $\alpha$-固非扩张算子的复合仍是拟 $\alpha$-固非扩张的，且有限族拟 $\alpha$-固非扩张算子的凸组合仍是拟 $\alpha$-固非扩张的。对于作用在 $\text{CAT}(0)$ 空间 $X$ 上的非扩张算子 $T:X\to X$，我们证明当 $T$ 为拟 $\alpha$-固非扩张时，迭代序列 $x_n:=Tx_{n-1}$ 弱收敛到不动点集 $\text{Fix} T$ 中的某个元素。此外，在某一正则性条件下，投影 $P_{\text{Fix} T}x_n$ 强收敛到该弱极限。我们的理论以循环投影与平均投影这两个经典例子加以说明。