平行四边形法则的算子推广及相关范数不等式

我们建立了一个关于内积空间刻画的一般算子平行四边形法则，得到了Bohr不等式的一个算子推广，并给出了若干范数不等式。更精确地说，设${\mathfrak A}$是一个$C^*$-代数，$T$是一个配备Radon测度$\mu$的局部紧Hausdorff空间，且$(A_t)_{t\in T}$是${\mathfrak A}$中一个连续算子场，使得函数$t \mapsto A_t$在$T$上范数连续，且函数$t \mapsto \|A_t\|$可积。如果$\alpha: T \times T \to \mathbb{C}$是一个可测函数，且对所有$t, s \in T$有$\bar{\alpha(t,s)}\alpha(s,t)=1$，则我们证明\begin{align*} \int_T\int_T&\left|\alpha(t,s) A_t-\alpha(s,t) A_s\right|^2d\mu(t)d\mu(s)+\int_T\int_T\left|\alpha(t,s) B_t-\alpha(s,t) B_s\right|^2d\mu(t)d\mu(s) \nonumber &= 2\int_T\int_T\left|\alpha(t,s) A_t-\alpha(s,t) B_s\right|^2d\mu(t)d\mu(s) - 2\left|\int_T(A_t-B_t)d\mu(t)\right|^2\,. \end{align*}