关于线性椭圆方程的 Sobolev-Lorentz 空间最优规律性结果：L¹ 或度量数据情形
偏微分方程分析
2025-06-23 v2
摘要
众所周知，如果 Ω 为 ℝⁿ（n≥2）中的有界 C¹ 域，则对于每个总变异有限的 Radon measure f 在 Ω 上的测度，存在唯一的弱解 u∈W₀^{1,1}(Ω) 满足 Poisson 方程 -Δu=f 在 Ω 中，且 ∇u∈L^{n/(n-1),∞}(Ω;ℝⁿ)。在本文中，建立了解 u 在阶数小于但任意接近 2 的 Sobolev-Lorentz 空间 L_{α}^{p,q}(Ω) 中的最优规律性。更准确地说，对于任意 0≤α<1，我们证明 u∈L_{α+1}^{p(α),∞}(Ω)，其中 p(α)=n/(n-1+α)。此外，利用 Sobolev-Lorentz 空间 L_{α}^{p,q}(Ω) 嵌入经典 Besov 空间 B_{α}^{p,q}(Ω) 的嵌入结果，我们推导出 u∈B_{α+1}^{p(α),∞}(Ω)。事实上，这些规律性结果是为具有非齐次边界数据的更一般的线性椭圆方程的 Dirichlet 问题所证明的。另一方面，已知如果 Ω 为 C^{1,1} 类，则对于每个 G∈L¹(Ω;ℝⁿ)，存在唯一的非常弱解 v∈L^{n/(n-1),∞}(Ω) 满足 -Δv=div G 在 Ω 中，且满足边界条件 v=0 在某种意义上。我们证明 v 拥有最优规律性，即 v∈L_{α}^{p(α),∞}(Ω)∩B_{α}^{p(α),∞}(Ω) 对每个 0≤α<1 成立。这种规律性结果也适用于具有非齐次边界数据的更一般方程。
引用
@article{arxiv.2506.15005,
title = {Optimal regularity results in Sobolev-Lorentz spaces for linear elliptic equations with $L^1$- or measure data},
author = {Hyunseok Kim and Young-Ran Lee and Jihoon Ok},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.15005},
year = {2025}
}
备注
31 pages