李群表示的Fefferman-Phong不确定性原理及其应用

我们证明了连通李群的平方可积不可约酉表示的一个新的不确定性原理。矩阵系数的集中度通过加权 $L^p$ 范数来度量，权重取自与一个次黎曼左不变度量和相对不变测度相关的局部Muckenhoupt类 $A_{\infty,{\rm loc}}$。该结果令人联想到Fefferman-Phong不确定性原理，并且即使对于对应于短时傅里叶变换的约化海森堡群的薛定谔表示也是全新的。作为一个应用，我们给出了 $\mathbb{R}^d$ 中具有 $A_{\infty}$ 类非负符号 $a$（特别是多项式符号）的半经典反Wick算子谱的下界和本质谱下界的量级的最优估计。确切地说，我们证明了，下确界 $\inf _{(x_0,\omega_0)\in{\mathbb{R}^{2d}}} -\!\!\!\!\!\int_{B((x_0,\omega_0),\sqrt{h})} a(x,\omega)\, dx\,d\omega$ 一致地关于 $h>0$ 代表了谱下界的一个下界和一个上界（相差乘性常数）。类似地，量 $$\liminf_{(x_0,\omega_0)\to\infty} -\!\!\!\!\!\!\int_{B((x_0,\omega_0),\sqrt{h})} a(x,\omega)\, dx\,d\omega$$ 一致地关于 $h>0$ 代表了本质谱下界的一个下界和一个上界。对于半经典符号类也证明了类似的结果。