不确定性原理、湮灭对与傅里叶限制

设 $G$ 为局部紧阿贝尔群，$\widehat{G}$ 表示其对偶群，并配备哈尔测度。不确定性原理的一个变体指出，对于任意 $S \subset G$ 和 $\Sigma \subset \widehat{G}$，存在常数 $C(S, \Sigma)$ 使得对任意 $f \in L^2(G)$，以下不等式成立：$$\|f\|_{L^2(G)} \leq C(S, \Sigma) \bigl( \|f\|_{L^2(G \setminus S)} + \|\widehat{f}\|_{L^2(\widehat{G} \setminus \Sigma)} \bigr),$$ 其中 $\widehat{f}$ 表示 $f$ 的傅里叶变换。不确定性原理的这一变体在信号处理和控制理论等应用中尤为有用。本文旨在证明当 $S$ 或 $\Sigma$ 满足限制定理时，此类估计可以得到加强，并为常数 $C(S, \Sigma)$ 提供估计。该结果作为第一作者和末位作者近期发现的定量对应。在有限群的情形下，这些结果也推广了Matolcsi-Sz\"ucs和Donoho-Stark的工作。