超树的Faber-Krahn型不等式

Faber-Krahn不等式指出，在所有有界区域中，第一Dirichlet特征值不小于$\mathbb{R}^n$中具有相同体积的欧几里得球\cite{Chavel FB}。B{\i}y{\i}ko\u{g}lu和Leydold (J. Comb. Theory, Ser. B., 2007)证明了Faber-Krahn不等式对于具有相同度序列的带边界的树类也成立，并刻画了唯一的极值树。B{\i}y{\i}ko\u{g}lu和Leydold (2007)还提出了以下问题：刻画给定类$\mathcal{C}$中所有具有Faber-Krahn性质的图。在本文中，我们专门针对带边界的$k$-一致超树解决了这个问题。我们为超树引入了顶点的螺旋序（SLO序），这是Pruss [Duke Math. J., 1998]最初提出的树的SLO序的推广，并证明了在具有给定度序列的所有超树中，SLO-超树具有Faber-Krahn性质。此外，在内部顶点具有最小度$d$的度序列中，具有度序列$(d,\ldots,d, d', 1, \dots, 1)$的SLO-超树具有Faber-Krahn性质。