正多边形的第一 Dirichlet Laplacian 特征值

$\mathbb{R}^2$ 中的 Faber-Krahn 不等式指出，在所有给定面积的有限开集中，圆盘使第一 Dirichlet Laplacian 特征值最小。数值证据表明，对于所有 $N\ge 3$，正 $N$ 边形的第一 Dirichlet Laplacian 特征值大于相同面积的正 $(N+1)$ 边形的第一 Dirichlet Laplacian 特征值。这一自然性质也由以下事实所暗示：随着 $N$ 的增大，正多边形的形状变得越来越"圆润"，而在给定面积的所有集合中，圆盘使特征值最小。为了验证这一猜想，本文研究了估计正 $N$ 边形与正 $(N+1)$ 边形特征值之间差值的可能方法。