关于多边形 Faber-Krahn 不等式

Pólya 与 Szegö 于七十年前猜想:在具有 $n$ 条边且面积固定的多边形中,使 Dirichlet-Laplace 算子第一特征值最小的平面集为正多边形。尽管看似简单,该结果仅对三角形和四边形被证明。本文中我们证明,对每个 $n \ge 5$,该猜想的证明可归约为有限次经认证的数值计算。此外,正多边形的局部极小性可归约为单次数值计算。对 $n=5, 6, 7, 8$,我们执行该计算并通过有限元在机器误差范围内认证数值近似。