关于多边形 Laplacian 第一特征值

1947 年，P\'olya 证明了当 $n=3,4$ 时，正多边形 $P_n$ 在给定面积 $\alpha>0$ 的 n 边形中使主频率最小化，并提出当 $n \ge 5$ 时同样成立。1951 年，P\'olya 与 Szeg\"o 在《数学物理中的等周不等式》一书中讨论了反例的可能性。本文构造了显式的 $(2n-4)$ 维多边形流形 $\mathcal{M}(n, \alpha)$，并证明存在一个可计算的 $N \ge 5$，使得对所有 $n \ge N$，容许的 n 边形由 $\mathcal{M}(n, \alpha)$ 给出，且存在一个显式集合 $\mathcal{A}_{n}(\alpha) \subset \mathcal{M}(n,\alpha)$，使得 $P_n$ 在 $\mathcal{A}_{n}(\alpha)$ 中的 n 边形中具有最小的主频率。特别地，当 $n \ge 3$ 时，证明了一个关于凸 $P \in \mathcal{M}(n,\alpha)$ 主频率的公式，该公式以具有相同面积的等边 n 边形表示；并且证明了等边多边形集合是 $(2n-4)$ 维流形 $\mathcal{M}(n,\alpha)$ 在 $P_n$ 附近的 $(n-3)$ 维子流形。若 $n=3$，该公式完全解决了 Antuns 和 Freitas 在 2006 年的猜想以及《数学物理中的等周不等式》中提到的另一个问题。此外，给出了三角形尖锐多边形 Faber-Krahn 稳定性问题的解，并带有显式常数。所用技术涉及部分对称化、张量微积分、循环矩阵的谱理论以及 $W^{2,p}/BMO$ 估计。最后，给出了在电子气泡背景下的一个应用。