广义傅里叶变换的Pitt不等式与不确定性原理

我们研究双参数酉算子族$$\mathcal{F}_{k,a}=\exp\Bigl(\frac{i\pi}{2a}\,(2\langle k\rangle+{d}+a-2 )\Bigr) \exp\Bigl(\frac{i\pi}{2a}\,\Delta_{k,a}\Bigr),$$ 它们被称为$(k,a)$-广义傅里叶变换，并由$a$-形变Dunkl谐振子$\Delta_{k,a}=|x|^{2-a}\Delta_{k}-|x|^{a}$定义，$a>0$，其中$\Delta_{k}$是Dunkl拉普拉斯算子。此类算子的特例是傅里叶变换和Dunkl变换。$\mathcal{F}_{k,a}$在径向函数上的限制由$a$-形变Hankel变换$H_{\lambda,a}$给出。我们得到了加权$(L^{p},L^{q})$ Pitt不等式对$a$-形变Hankel变换成立的充要条件。此外，我们证明了一般单调函数的双侧Boas--Sagher型估计。我们还证明了$\mathcal{F}_{k,a}$变换在$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$中带相应权函数的尖锐Pitt不等式。最后，我们建立了$\mathcal{F}_{k,a}$的对数不确定性原理。