分数阶$(k,a)$-广义谐振子的Hardy不等式

在本文中，我们将定义$a$-形变Laguerre算子$L_{a,\alpha}$以及$L^2\left(\left(0,\infty\right),d\mu_{a,\alpha}\right)$上的$a$-形变Laguerre全纯半群。然后我们给出由S. Ben Sa"id、T. Kobayashi和B. \O rsted引入的$(k,a)$-广义Laguerre半群的球谐展开，当取边界值$z=\frac{\pi i}2$时该展开退化为Bochner型恒等式。进而利用此展开，我们证明了$a$-形变Dunkl谐振子$\triangle_{k,a}:=\left|x\right|^{2-a}\triangle_k-\left|x\right|^a$的分数次幂的Hardy不等式。当$a=2$时，该分数阶Hardy不等式退化为\'O. Ciaurri、L. Roncal和S. Thangavelu给出的Dunkl--Hermite算子的相应不等式。算子$L_{a,\alpha}$还对$(k,a)$-广义Laguerre半群在每个$k$-球分量$\mathcal H_k^m\left(\mathbb{R}^N\right)$（$\lambda_{k,a,m}:=\frac{2m+2\left\langle k\right\rangle+N-2}a\geq -1/2$，由酉表示的分解定义）上的径向部分给出了明确的刻画。