半空间中含分数阶拉普拉斯的 Hardy 算子所生成半群的相关变分算子

记 $\{W_{\lambda, t}^\alpha\}_{t>0}$ 为由 $-\mathbb L^{\alpha}_\lambda$ 生成的半群，其中 $\mathbb L^{\alpha}_\lambda$ 是半空间上的 Hardy 算子。算子 $\mathbb L^{\alpha}_\lambda$ 包含一个分数阶拉普拉斯算子，定义为 $$\mathbb L^{\alpha}_\lambda=(-\Delta)^{\alpha/2}_{\mathbb{R}^d_+}+\lambda x_d^{-\alpha}, \quad \alpha\in (0,2], \lambda \geq 0.$$ 我们证明，对每个 $k\in \mathbb N$，$\rho$-变分算子 $\mathcal{V}_\rho\left(\left\{t^k\partial_t^k W_{\lambda,t}^\alpha\right\}\right)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^d_+, w)$ 上有界，其中 $1<p<\infty$ 且 $w\in A_p(\mathbb{R}^d_+)$，$A_p(\mathbb{R}^d_+)$ 为 $\mathbb{R}^d_+$ 上的 Muckenhoupt $p$ 类权函数。