分数 Kolmogorov 算子生成的半群相关的变分不等式

本文考虑定义在 $\mathbb{R}^d$ 上的分数 Kolmogorov 算子\n\n$$\Lambda_\kappa=(-\Delta)^{\alpha/2}+\frac{\kappa}{|x|^\alpha} x\cdot \nabla,$$\n\n其中 $\alpha\in (1,2)$，$\alpha<(d+2)/2$ 且 $\kappa\in \mathbb{R}$。算子 $\Lambda_\alpha$ 在 $\kappa<\kappa_c$ 时生成 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 中的全續半群 $\{T_t^\alpha\}_{t>0}$，其中 $\kappa_c$ 为临界耦合常数。我们建立了变分算子 $V_\rho\left(\{t^\ell\partial_t^\ell T_t^\alpha\}_{t>0}\right)$ 的 $L^p$ 有界性，其中 $\rho> 2$，$\ell\in \mathbb{N}$ 且 $1\vee \frac{d}{\beta}<p<\infty$，其中 $\beta$ 取决于 $\kappa$。我们还研究了这些变分算子在端点 $L^{1\vee \frac{d}{\beta}}(\mathbb{R}^d)$ 中的行为，并证明 $V_2(\{T_t^\alpha\}_{t>0})$ 不能从 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 映射到 $L^{p,\infty}(\mathbb{R}^d)$ 以获得有界性，其中 $1< p<\infty$。