混合拓扑中的算子半群与 Markov 过程的无穷小描述

我们定义了一类不必线性的 $C_0$-半群 $(P_t)_{t\geq0}$，其作用于 $C_b(E)$（更一般地，作用于 $C_\kappa(E):=\frac1\kappa C_b(E)$，其中 $\kappa$ 为某有界函数，是连续函数递减序列的点态极限），并装备以混合拓扑 $\tau_1^{\mathscr M}$，适用于一大类拓扑状态空间 $E$。若这些半群是线性的，则局部凸空间上算子半群经典理论以及双连续半群理论均适用于它们。特别地，它们由其生成元 $(L,D(L))$ 无穷小生成，从而可通过关于零处强导数的欧拉公式在 $(C_b(E),\tau_1^{\mathscr M})$ 中重构。在线性情形，我们将此类 $(P_t)_{t\geq0}$ 刻画为可由满足特定紧性性质的测度核给出的积分算子。作为推论，若 Markov 过程的转移半群保持 $C_b(E)$ 不变且关于空间与时间联合弱连续，则其是 $(C_b(E),\tau_1^{\mathscr M})$ 上的 $C_0$-半群。因此，它们可由零处强导数重构，从而具有完全的无穷小描述。此外，我们引入上述生成元 $(L,D(L))$ 的 Markov 核算子 $(L_0,D(L_0))$ 概念，并证明：对应于 $(L_0,D(L_0))$ 的 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程在所有 Dirac 初始条件下唯一，蕴含 $(L_0,D(L_0))$ 是 $(L,D(L))$ 的 Markov 核算子。若每个 $P_t$ 仅为凸的，我们证明 $(P_t)_{t\geq0}$ 给出由其关联（非线性）无穷小生成元所给定柯西问题的粘性解。我们还表明，有限与无限维最优控制问题的价值函数均为 $(C_\kappa(E),\tau_\kappa^{\mathscr M})$ 上凸 $C_0$-半群的特例。