分数算子在变量 Lebesgue 空间上有界性的必要条件

本文证明了分数算子在变量 Lebesgue 空间上有界性的必要条件。更准确地说, 我们发现分数最大算子 $M_\alpha$ 或非退化分数奇异积分算子 $T_\alpha$, $0 \leq \alpha < n$, 满足弱 $(\pp,\qq)$ 不等式或强 $(\pp,\qq)$ 不等式的必要条件, 其中 $\qq$ 由下式在几乎处定义: % $$\frac{1}{p(x)} - \frac{1}{q(x)} = \frac{\alpha}{n}.$$ % 我们首先证明了将分数平均算子与 $K_0^\alpha$ 条件联系起来的初步结果, $K_0^\alpha$ 条件是关于 $\pp$ 的定性条件, 与立方体特征函数的范数有关, 并展示了 $K_0^\alpha$ 条件的一些有用含义。我们随后证明, 如果 $M_\alpha$ 满足弱 $(\pp,\qq)$ 不等式, 则 $\pp \in K_0^\alpha(\R^n)$。我们利用这一结果证明, 如果 $M_\alpha$ 满足强 $(\pp,\qq)$ 不等式, 则 $p_->1$。最后, 我们证明了一个强大的点估计 $T_\alpha$, 将 $T_\alpha$ 与 $M_\alpha$ 关联于一个精心选择的立方体族。 这使我们能够证明类似于分数最大算子的分数奇异积分算子所需的必要条件。