厚分布的傅里叶变换

我们首先构造一个空间 $\mathcal{W}\left( \mathbb{R}_{\text{c}} ^{n}\right)$，其元素是在 $\mathbb{R} _{\text{c}}^{n}=\mathbb{R}^{n}\cup\left\{ \mathbf{\infty}\right\}$（即 $\mathbb{R}^{n}$ 的一点紧化）中定义的测试函数，这些函数在无穷远处具有特殊对数型的厚展开，及其对偶空间 $\mathcal{W}^{\prime }\left( \mathbb{R}_{\text{c}}^{n}\right)$，即 $sl-$厚分布空间。我们证明 $\mathcal{W} ^{\prime}\left( \mathbb{R}_{\text{c}}^{n}\right)$ 到 $\mathcal{S} ^{\prime}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$ 存在典范投影。我们研究了若干 $sl-$厚分布并考虑 $\mathcal{W}^{\prime}\left( \mathbb{R}_{\text{c}}^{n}\right)$ 中的运算。我们定义并研究了 $\mathcal{S}_{\ast}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$ 的厚测试函数与 $\mathcal{S}_{\ast}^{\prime}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$ 的厚缓增分布的傅里叶变换。我们构造同构 $$\mathcal{F}_{\ast}:\mathcal{S}_{\ast}^{\prime}\left( \mathbb{R}^{n}\right) \longrightarrow\mathcal{W}^{\prime}\left( \mathbb{R}_{\text{c}}^{n}\right) \,,$$ $$\mathcal{F}^{\ast}:\mathcal{W}^{\prime}\left( \mathbb{R}_{\text{c}} ^{n}\right) \longrightarrow\mathcal{S}_{\ast}^{\prime}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \,,$$ 它们推广了缓增分布的傅里叶变换，即 $\Pi\mathcal{F}_{\ast}=\mathcal{F}\Pi$ 与 $\Pi\mathcal{F}^{\ast} =\mathcal{F}\Pi$，其中 $\Pi$ 是 $\mathcal{S} _{\ast}^{\prime}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$ 或 $\mathcal{W}^{\prime }\left( \mathbb{R}_{\text{c}}^{n}\right)$ 到 $\mathcal{S}^{\prime}\left( \mathbb{R}^{n}\right)$ 的典范投影。我们确定了若干有限部正则化以及一般厚 delta 函数的傅里叶变换。