海森堡群上的缓增分布与傅里叶变换

本工作的最终目标是将海森堡群 \H^d 上的傅里叶变换扩展到缓增分布。如同欧氏情形，策略是首先证明傅里叶变换在施瓦茨空间上是同构，然后通过对偶来定义扩展。此处遇到的困难是，\H^d 上可积函数的傅里叶变换不再是 \H^d 上的函数：根据标准定义，它是 $L^2(\R^d)$ 上的一族有界算子。遵循我们在\ccite{bcdFHspace}中的新方法，我们在此将可积函数的傅里叶变换定义为在集合~\wt\H^d=\N^d\times\N^d\times\R\setminus\{0\}上的映射，该集合赋予适当的距离 $\wh d$。这一视角恰好为通过傅里叶变换描述 \H^d 上施瓦茨空间的值域提供了用户友好的描述，这使得向整个缓增分布集合的扩展变得直接。作为首个应用，我们给出了在 \H^d 上独立于垂直变量的光滑函数的傅里叶变换显式公式。我们还提供了其他例子。