q-变形傅里叶理论

我们解决了一维$q$-变形海森堡代数的傅里叶变换问题。从该代数的矩阵表示出发，我们观察到动量和位置在希尔伯特空间中是无界算符。因此，为了在动量本征基中对角化位置算符，我们必须研究这些算符的自伴延拓。事实证明，位置算符存在一整个这样的延拓族。这相应地导致了一个单参数的傅里叶变换族。这些变换与连分数相关，用$q$-变形的三角函数构造。整个傅里叶变换族被证明可以用一个椭圆函数来表征。