平面仿射群上的调和分析

对任意自然数 $n$，所有 $n$ 维欧几里得空间可逆仿射变换构成的群 $G_n$ 在等价意义下恰有一个平方可积表示，且 $G_n$ 的左正则表示是该平方可积表示的倍数。我们给出 $G_2$ 此平方可积表示在 Hilbert 空间 $L^2\big(\widehat{\mathbb{R}^2}\times\widehat{\mathbb{R}}\big)$ 上作用的具体实现 $\sigma_2$。我们显式地将 Hilbert 空间 $L^2(G_2)$ 分解为左不变闭子空间的直和，在每一子空间上左正则表示均作为等价于 $\sigma_2$ 的表示作用。