共形变换的推广

欧几里得(复)平面上的共形变换对于在该平面上表述的许多数学与物理数学问题之求解具有某种完备性(充分性)。在维数大于二的欧几里得、伪欧几里得与多数空间中则不存在此种完备性。本文表明,利用类比几何的概念,我们可将共形变换不仅推广到欧几里得或伪欧几里得空间的情形,而且推广到与仿射联络空间相类比的 Finsler 空间的情形。给出了在复数与超复数 H_4 情形下此类变换的例。一般地,此类变换构成一个转移群,其元素可视为由容许仿射坐标的度规几何之选取所固定的特异类射影欧几里得几何之间的转移。实现广义共形变换的函数与广义解析函数之间的关联,对于理论物理与数学物理中基本问题的求解可能是富有成效的。