稀疏集上对称平方 L 函数的振荡与首个负傅里叶系数

设 $sym^{2} f$ 表示 Hecke 本征形式 $f \in S_{k}(\Gamma_{0}(N))$ 的对称平方提升，其第 $n^{\rm th}$-傅里叶系数为 $\lambda_{sym^{2}f}(n)$。在本文中，我们证明了序列 $\{ \lambda_{sym^{2}f}(\mathcal{Q}(\underline{x}))\}_{\mathcal{Q} \in \mathcal{S}_{D}, \underline{x} \in \mathbb{Z}^{2}}$ 的一阶矩的估计，其中 $\mathcal{S}_{D}$ 表示判别式为 $D$ 的不等价简化形式的集合。更准确地说，我们建立了以下和的估计：\begin{equation*} \begin{split} S(sym^{2}f, D; X ) &= \sideset{}{^{\flat }}\sum_{\substack{\mathcal{Q}(\underline{x}) \leq X \\ \underline{x} \in \mathbb{Z}^{2} ,~ \mathcal{Q} \in \mathcal{S}_{D} \\ \gcd(\mathcal{Q}(\underline{x}),N) =1 }} \lambda_{sym^{2}f}(\mathcal{Q}(\underline{x})), \end{split} \end{equation*} 此外，我们考虑了一个关于傅里叶系数 $\lambda_{sym^{2}f}(n)$ 符号行为的问题，这些系数由判别式为 $D$ 的简化形式所表示的整数集合支撑。我们根据相关 $L$ 函数的导子确定了 $n_{sym^{2}f, D}$ 的大小（参见 \thmref{ExtMatKLSW} 之前的定义）。