通过半整数权周期对扭曲对称平方 L-函数的界

我们建立了三重积 $L$-函数的首个矩估计 $$\sum_{\varphi} L(\varphi \otimes \varphi \otimes \Psi, \tfrac{1}{2}) \ll_{\varepsilon} p^{5/4+\varepsilon}$$，其中 $\Psi$ 是 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ 上的固定 Hecke-Maass 形式，$\varphi$ 遍历 $\Gamma_0(p)$ 上特征值有界的 Hecke-Maass 新形式。证明通过 theta 对应和半整数权模形式的周期分析完成。该估计未必是最优的，但指数 $5/4$ 是迄今针对此类矩问题所获得的最强结果。我们表明，若在整数权和半整数权情形下均假设 Ramanujan 猜想，则预期的上界成立。在三重积公式下，我们的结果可理解为量子遍历性的强水平方面形式：对于大素数 $p$，$\Gamma_0(p) \backslash \mathbb{H}$ 上特征值有界的 Hecke-Maass 新形式中，除极少数外，在推前到 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \backslash \mathbb{H}$ 后都具有非常均匀分布的质量。我们的主要结果被证明与如下估计密切相关：$$\sum_{|n| < p} L(\Psi \otimes \chi_{n p},\tfrac{1}{2}) \ll p,$$ 其中求和遍历使 $n p$ 为基本判别式且 $\chi_{n p}$ 表示相应二次特征的 $n$。此类估计改进了 Duke-Iwaniec 的界。