基于谱互反性的自守形式$L^p$范数界

设$g$为模曲面${\rm SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$上的Hecke-Maass尖形式，即${\rm SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$上$L^2$归一化的非平凡拉普拉斯特征函数，且同时是每个Hecke算子的公共特征函数。我们证明$L^4$范数界$\|g\|_4\ll_{\varepsilon}\lambda_g^{3/304+\varepsilon}$，其中$\lambda_g$表示$g$的拉普拉斯特征值，这相对于Sogge关于紧黎曼曲面上拉普拉斯特征函数的$L^4$范数界$\|g\|_4\ll\lambda_g^{1/16}$改进了超过六倍的幂次节省。通过插值，这给出了Hecke-Maass尖形式对所有$p>2$的$L^p$范数界，是对Sogge界的幂次节省改进。我们的论文标志着模曲面上Sogge结果的首次改进。此外，这些方法对紧算术曲面给出了迄今为止最佳的$L^4$范数界。通过Watson-Ichino三重积公式，$g$的$L^4$范数界被归约为某些$L$-函数的混合矩的界。我们利用两种谱互反性来界定这些。第一种是${\rm GL}_3\times{\rm GL}_2\leftrightsquigarrow{\rm GL}_4\times{\rm GL}_1$谱互反性的一种形式，它将${\rm GL}_3\times{\rm GL}_2$ Rankin-Selberg $L$-函数的${\rm GL}_2$矩与${\rm GL}_4\times{\rm GL}_1$ Rankin-Selberg $L$-函数的${\rm GL}_1$矩相联系；这可视为Motohashi将黎曼zeta函数四阶矩与Hecke $L$-函数中心值三阶矩相关联的公式的尖形式类比。第二种是${\rm GL}_4\times{\rm GL}_2\leftrightsquigarrow{\rm GL}_4\times{\rm GL}_2$谱互反性的一种形式，它是Kuznetsov关于Hecke $L$-函数中心值四阶矩公式的尖形式类比。