二次型表示整数处 $\ell$ 倍积 $L$ 函数系数的稀疏分布

设 $f \in S_{k}(\Gamma_{0}(N))$ 为归一化的Hecke本征形式。我们研究 $\ell$ 倍积 $L$ 函数的傅里叶系数 $\lambda_{f \otimes \cdots \otimes_{\ell} f}(n)$，其中奇数 $\ell \ge 3$。我们的关注点是该序列在由二次型 $Q$ 表示的稀疏整数集合上的分布,其中 $Q$ 为固定判别式 $D$ 的原始正定二进制二次型。我们给出这些系数的求和函数的显式上界,其依赖于权重、水平和判别式。作为一个关键应用,我们给出该设置下序列第一次符号变化的界限。我们还推广此结果,寻找由判别式 $D$ 的任意 $h(D)$ 个形式中的任意一个表示的整数中第一个符号变化的位置,表明随着类数的增加,该界限会得到改进。