尖形式 Fourier 系数在范数形式自变量处的符号变化

设 $f$ 为水平 1 与固定权重的非 CM Hecke 本征尖形式，令 $\{\lambda_f(n)\}_n$ 为其归一化 Fourier 系数序列。我们证明：若 $K/ \mathbb{Q}$ 为任意数域，且 $\mathcal{N}_K$ 表示可表为 $K$ 的整理想范数的整数集合，则正整数 $n \in \mathcal{N}_K$ 中有正比例的 $n$ 使得序列 $\{\lambda_f(n)\}_{n \in \mathcal{N}_K}$ 发生符号变化。更精确地，对 $\mathcal{N}_K \cap [1,X]$ 中正比例的 $n$，有 $\lambda_f(n)\lambda_f(n') < 0$，其中 $n'$ 是 $\mathcal{N}_K$ 中大于 $n$ 且 $\lambda_f(n') \neq 0$ 的首个元素。例如，对 $K = \mathbb{Q}(i)$ 与 $\mathcal{N}_K = \{m^2+n^2 : m,n \in \mathbb{Z}\}$（两平方和之集），我们得到 $\gg_f X/\sqrt{\log X}$ 个此类符号变化，这在（直至隐常数意义下）最佳可能，并改进了 Banerjee 与 Pandey 的工作。我们的证明依赖于 Matomäki 与 Radziwiłł 近期关于稀疏支撑乘性函数的工作，以及作者对其结果的一些技术性精炼。在相关脉络中，我们也考虑沿平移两平方和的符号变化问题，对此乘性技术不能直接应用。利用平移卷积和估计等技术，我们确立：对任意固定 $a \neq 0$，沿形如 $a + m^2 + n^2 \leq X$ 的整数序列，$\lambda_f$ 有 $\gg_{f,\epsilon} X^{1/2-\epsilon}$ 个符号变化。