全纯尖点形式的 Hecke 特征值的大和

设 $f$ 为全模群上权为 $k$ 的 Hecke 尖点形式，并设 $\{\lambda_f(n)\}_{n\geq 1}$ 为其归一化傅里叶系数序列。受 $\lambda_f(n)$ 首次变号问题的启发，我们研究了使得求和 $S_f(x)=\sum_{n\leq x} \lambda_f(n)$ 中出现抵消的 $x$ 的范围（以 $k$ 表示）。我们首先证明 $S_f(x)=o(x\log x)$ 意味着对于某个 $n\leq x$ 有 $\lambda_f(n)<0$。我们还证明了在 $\log x/\log\log k\to \infty$ 的范围内，假设 $L(s, f)$ 的 Riemann 假设成立，则 $S_f(x)=o(x\log x)$，并且进一步指出该范围在无条件情况下是最佳的。更确切地说，我们确定存在许多大权 $k$ 的 Hecke 尖点形式 $f$，当 $x=(\log k)^A$ 时，对于这些形式有 $S_f(x)\gg_A x\log x$。我们的结果是 Granville 和 Soundararajan 关于特征和工作的 $GL_2$ 类比，并且也可以推广到其他自守形式族。