Hecke 特征值和之二阶矩 II

设 $f$ 为 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 上权为 $k$ 的全纯 Hecke 尖形式，并令 $(\lambda_f(n))_{n\geq 1}$ 表示其标准化的 Hecke 特征值序列。我们在对大权 $k$ 的形式 $f$ 取平均的意义下，计算了和式 $S(x,f)=\sum_{x\leq n\leq 2x} \lambda_f(n)$ 的一阶矩和二阶矩。在范围 $k^2/(8\pi^2)\leq x\leq k^{12/5-\epsilon}$ 内，二阶矩的大小介于 $x^{1/2-o(1)}$ 和 $x^{1/2}$ 之间。这与区域 $x\leq k^{2-o(1)}$ 形成鲜明对比，在该区域，先前的工作（第一部分）表明二阶矩的大小为 $\asymp x$。