Hecke 特征值和的一阶矩 I

设 $f$ 为 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 上权为 $k$ 的全纯 Hecke 尖点形式，并令 $(\lambda_f(n))_{n\geq 1}$ 表示其 Hecke 特征值序列。我们在和式长度 $x$ 小于 $k^2$ 的区域，对大权 $k$ 的形式 $f$ 取平均，计算了和式 $S(x,f)=\sum_{x\leq n\leq 2x}\lambda_f(n)$ 的一阶矩和二阶矩。我们观察到当 $x\approx k$ 和 $x\approx k^2$ 时，和式的大小发生转变。在后续工作（第二部分）中，将证明一旦 $x$ 大于 $k^2$（后一个转变发生之处），和式 $S(x,f)$ 的平均大小将显著变小。