关于平均意义下的 Hardy-Littlewood-Chowla 猜想

近期人们对著名的 Hardy-Littlewood 猜想与 Chowla 猜想的一种混合形式产生了兴趣。我们证明：对任意 $k,\ell\ge1$ 及互异整数 $h_2,\ldots,h_k,a_1,\ldots,a_\ell$，只要 $H\geq (\log X)^{\ell+\epsilon}$，对除 $o(H)$ 个 $h_1\leq H$ 的值外，均有 $$\sum_{n\leq X}\mu(n+h_1)\cdots \mu(n+h_k)\Lambda(n+a_1)\cdots\Lambda(n+a_{\ell})=o(X)$$。这改进了首位作者此前工作中得到的范围 $H\ge (\log X)^{\psi(X)}$，$\psi(X)\to\infty$。我们的结果也从 M"obius 函数 $\mu$ 推广到任意（非虚伪的）乘法函数。