多线性形式上 Hardy–Littlewood 不等式的普适界

序列空间上多线性形式的 Hardy–Littlewood 不等式指出，对所有正整数 $m,n\geq2$ 以及所有 $m$-线性形式 $T:\ell_{p_{1}}^{n}\times\cdots\times\ell_{p_{m}}^{n}\rightarrow\mathbb{K}$（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$），存在常数 $C_{m}\geq1$（不依赖于 $n$）使得 $$\left( \sum_{j_{1},\ldots,j_{m}=1}^{n}\left\vert T(e_{j_{1}},\ldots,e_{j_{m}})\right\vert ^{\rho}\right) ^{\frac{1}{\rho}}\leq C_{m}\sup_{\left\Vert x_{1}\right\Vert ,\dots,\left\Vert x_{m}\right\Vert \leq 1}\left\vert T(x_{1},\dots,x_{m})\right\vert,$$ 其中若 $0\leq\frac{1}{p_{1}}+\cdots+\frac{1}{p_{m}}\leq\frac{1}{2}$ 则 $\rho=\frac{2m}{m+1-2\left( \frac{1}{p_{1}}+\cdots+\frac{1}{p_{m}}\right) }$，若 $\frac{1}{2}\leq\frac{1}{p_{1}}+\cdots+\frac{1}{p_{m}}<1$ 则 $\rho=\frac{1}{1-\left( \frac{1}{p_{1}}+\cdots+\frac{1}{p_{m}}\right)}$。对 Hardy-Littlewood 常数的良好估计通常关联于数学乃至物理中的应用，但这些常数的精确行为仍未知。在本注记中，我们对 $\frac{1}{2}\leq\frac{1}{p_{1}}+\cdots+\frac{1}{p_{m}}<1$ 情形下这些常数的行为给出一些新贡献。作为我们主要结果的推论，我们给出 Aron 等人关于某类 Hardy–Littlewood 型不等式结果的一个推广与简化证明。