Hardy-Littlewood 不等式何时具有收缩性？

尽管 $m$ 重线性 Bohnenblust-Hille 和 Hardy-Littlewood 不等式的最优常数在数学的多个领域中很重要，但目前仍未知。对于 Bohnenblust-Hille 不等式和实标量，众所周知其最优常数不具有收缩性。在这篇短文中，除其他结果外，我们证明了如果考虑对 $M:=M(m)$ 个指标的求和且满足 $M\log M=o(m)$，则最优常数具有收缩性。例如，我们可以考虑 M=\left\lfloor \frac{m}{\left( \log m\right) ^{1+\frac{1}{\log\log\log m}}% }\right\rfloor 其中 $\lfloor x\rfloor:=\max\{n\in\mathbb{N}:n\leq x\}.$ 特别地，如果 $\varepsilon>0$ 且 $M:=M(m)\leq m^{1-\varepsilon},$ 则限制在对 $M$ 个指标求和的 Bohnenblust-Hille 不等式具有收缩性。