实Bohnenblust-Hille不等式常数的若干改进

由Bohnenblust和Hille提出的一个经典不等式指出，对于每个$N \in \mathbb{N}$和每个$m$-线性映射$U:\ell_{\infty}^{N}\times...\times\ell_{\infty}^{N}\rightarrow\mathbb{C}$，我们有$$(\sum\limits_{i_{1},...,i_{m}=1}^{N}| U(e_{i_{^{1}}},...,e_{i_{m}})| ^{\frac{2m}{m+1}}) ^{\frac{m+1}{2m}}\leq C_{m}| U]$$其中$C_{m}=2^{\frac{m-1}{2}}$。该结果对于实Banach空间同样成立。在本文中，我们展示了将Defant、Popa和Schwarting给出的Bohnenblust-Hille不等式最新证明的适当运用，结合Khinchine不等式的最优常数（归功于Haagerup），为实Bohnenblust-Hille不等式中所涉及的常数提供了更好的估计。例如，对于$2\leq m\leq 14,$，我们证明当$m$为偶数时，常数$C_{m}=2^\frac{m-1}{2}$可以被替换为$2^{\frac{m^{2}+6m-8}{8m}}$；当$m$为奇数时，可被替换为$2^{\frac{m^{2}+6m-7}{8m}}$，这显著改进了$C_{m}$的已知值。我们还证明了新常数呈现出更好的渐近行为。