Bohnenblust-Hille不等式中常数的新上界

Bohnenblust和Hille的一个经典不等式指出，对于每个正整数$m$，存在常数$C_{m}>0$，使得对于每个正整数$N$和每个$m$-线性映射$U:\ell_{\infty}^{N}\times...\times\ell_{\infty}^{N}\rightarrow\mathbb{C}$，有$$(\sum\limits_{i_{1},...,i_{m}=1}^{N}|U(e_{i_{^{1}}},...,e_{i_{m}})| ^{\frac{2m}{m+1}}) ^{\frac{m+1}{2m}}\leq C_{m}| U|$$，其中$C_{m}=m^{\frac{m+1}{2m}}2^{\frac{m-1}{2}}.$ S. Kaijser将$C_{m}$的值改进为$C_{m}=2^{\frac{m-1}{2}}$，最近H. Quéffelec以及A. Defant和P. Sevilla-Peris指出$C_{m}=(\frac{2}{\sqrt{\pi}})^{m-1}$也成立。Bohnenblust-Hille不等式对于实Banach空间也成立，常数$C_{m}=2^{\frac{m-1}{2}}$。在本文中，我们表明，最近由Defant、Popa和Schwarting给出的Bohnenblust-Hille不等式的一个新证明，实际上对所有$m \in \mathbb{N}$都给出了$C_{m}$的更好估计。特别地，我们还将证明，对于实标量，如果$m$是偶数且$2\leq m\leq 24$，则$$C_{\mathbb{R},m}=2^{1/2}C_{\mathbb{R},m/2}.$$我们将主要基于Defant、Popa和Schwarting的一篇论文，对他们的工作给出一些评论，并解释如何在数值上改进前述常数。