多项式Bohnenblust-Hille不等式的超压缩性与多维Bohr半径

1931年，Bohnenblust和Hille证明了对于$\mathbb{C}^n$上的每个$m$次齐次多项式$\sum_{|\alpha| = m} a_\alpha z^\alpha$，其系数的$\ell^{\frac{2m}{m+1}}$范数被一个常数$C_m$（仅依赖于次数$m$）乘以多项式在多圆盘$\mathbb{D}^n$上的上确界范数所界定。我们证明该不等式是超压缩的，即最优常数$C_m \leq C^m$，其中$C \geq 1$是一个绝对常数。由此我们推导出$\mathbb{C}^n$中$n$维多圆盘的Bohr半径$K_n$在绝对常数意义下$\geq \sqrt{\log n/n}$；这一结果由Ortega-Cerdà、Ounaïes和Seip独立地以不同的证明发现。另一种方法甚至允许证明$\ell_n^p$单位球的Bohr半径$K_n^p$（$1 \leq p \leq \infty$）渐近地$\geq (\log n/n) ^{1-1/ \min (p,2)}$。这表明Boas和Khavinson给出的$K_n^p$的上界是最优的。