关于波尔不等式

波尔不等式由哈罗德·波尔于1914年首次提出，旨在寻找最大的半径 $r$, $0<r<1$，使得只要在复平面的单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内 $|\sum_{n=0}^\infty a_nz^n|\leq 1$ 成立，就有 $\sum_{n=0}^\infty |a_n|r^n \leq 1$。这一最大半径的精确值被称为波尔半径，已被确定为 $1/3$。本文综述了波尔不等式的最新进展与推广。它讨论了 $\mathbb{D}$ 中某些幂级数的波尔半径，以及从 $\mathbb{D}$ 到特定域的解析函数的波尔半径。这些域包括穿孔单位圆盘、闭单位圆盘外部和凹楔形域。还研究了 $\mathbb{D}$ 中调和与星型对数调和映射的类似波尔半径。针对欧几里得距离描述的波尔现象，进一步利用球弦度量和双曲度量进行了探讨。论述最后讨论了 $n$ 维波尔半径。