某些调和映射子类的 Bohr 现象

由 Harald Bohr 于 1914 年首次引入的形如 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}$ 的解析函数的 Bohr 现象，致力于寻找最大半径 $r_{f}$，$0<r_{f}<1$，使得每当在单位圆盘 $\mathbb{D}=\{z \in \mathbb{C}: |z|<1\}$ 内不等式 $|f(z)|\leq 1$ 成立时，不等式 $\sum_{n=0}^{\infty} |a_{n}z^{n}| \leq 1$ 成立。这一最大半径（称为 Bohr 半径）的精确值已被确立为 $r_{f}=1/3$。形如 $f(z)=h(z)+\overline {g(z)}$ 的调和函数（其中 $h(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}$ 且 $g(z)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}z^{n}$）的 Bohr 现象 \cite{Abu-2010} 是寻找最大半径 $r_{f}$，$0<r_{f}<1$，使得 $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_{n}|+|b_{n}|) |z|^{n}\leq d(f(0),\partial f(\mathbb{D}))$$ 对 $|z|\leq r_{f}$ 成立，此处 $d(f(0),\partial f(\mathbb{D}))$ 表示 $f(0)$ 与 $f(\mathbb{D})$ 边界之间的欧氏距离。本文研究单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中几类调和函数的 Bohr 半径。