正则性原理在序列空间中的若干应用

对于 $m$-线性形式的 Hardy--Littlewood 不等式起源于 Hardy 和 Littlewood 的开创性论文（Q.J. Math, 1934）。如今它已被广泛研究，许多作者致力于寻找其中涉及常数的最优估计。对于 $m<p\leq2m$，它断言存在常数 $D_{m,p}^{\mathbb{K}}\geq1$ 使得 $$\left( \sum_{j_{1},\cdots,j_{m}=1}^{n}\left\vert T(e_{j_{1}},\cdots,e_{j_{m}})\right\vert ^{\frac{p}{p-m}}\right) ^{\frac{p-m}{p}}\leq D_{m,p}^{\mathbb{K}}\left\Vert T\right\Vert ,$$ 对所有 $m$-线性形式 $T:\ell_{p}^{n}\times\cdots\times\ell_{p}^{n}\rightarrow\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 以及所有正整数 $n$ 成立。利用 Pellegrino、Santos、Serrano 和 Teixeira 最近证明的正则性原理（Regularity Principle），我们给出了 Hardy--Littewood 不等式的一个直接证明，并表明：(1) 若 $m<p_{1}<p_{2}\leq2m$，则 $D_{m,p_{1}}^{\mathbb{K}}\leq D_{m,p_{2}}^{\mathbb{K}}$；(2) 对所有 $m\geq3$，当 $m<p\leq 2\left( m-1\right)$ 时，$D_{m,p}^{\mathbb{K}}\leq D_{m-1,p}^{\mathbb{K}}$。