短区间上的 Balog-Ruzsa 定理

本文给出了关于 $r$-无因子数上指数和 $L_1$ 范数界的 Balog-Ruzsa 定理的短区间版本。作为一个应用，我们给出了由 M"obius 函数定义的指数和 $L_1$ 范数的下界。即我们证明当 $H \gg N^{\frac{9}{17} + \varepsilon}$ 时，$$\int_{{\mathbb T}} \left|\sum_{|n-N|<H} \mu(n)e(n \alpha)\right| d \alpha \gg H^{\frac{1}{6}}$$。