高阶特征的大和

设 $\chi$ 为模素数 $q$ 的原特征，并设 $\delta > 0$。先前已观察到，若 $\chi$ 的阶 $d \geq d_0(\delta)$ 很大，则存在某个 $n \leq q^{\delta}$ 使得 $\chi(n) \neq 1$，这类似于关于二次非剩余的维诺格拉多夫猜想。我们给出这一事实的一个新的简单证明。进一步，我们证明若 $d$ 无平方因子，则对任意 $d$ 次单位根 $\alpha$，满足 $\chi(n) = \alpha$ 的 $n \leq x$ 的个数为 $o_{d \to \infty}(x)$，只要 $x > q^\delta$。因此，当 $\chi$ 的阶足够大时，序列 $(\chi(n))_{n \leq q^\delta}$ 不会对任何 $\delta > 0$ 在 $1$ 附近聚集。我们的证明依赖于对特征 $\chi^\ell$ 的短和（在 $1 \leq \ell \leq d-1$ 上平均）的二阶矩估计，该估计在 $d$ 无小素因子时是非平凡的。特别地，给定任意 $\delta > 0$，我们证明除 $o(d)$ 个幂 $1 \leq \ell \leq d-1$ 外，只要 $d \geq d_0(\delta)$ 为素数，$\chi^\ell$ 的部分和在区间 $n \leq q^\delta$ 中表现出相消，这超越了 Burgess 定理。我们的论证融合了伪装数论与加性组合学的结果。最后，我们证明对素数 $3 \leq d \leq q-1$ 一致地，Pólya-Vinogradov 不等式可对 $\chi^\ell$ 在 $1 \leq \ell \leq d-1$ 上平均得到改进，推广了 Granville 和 Soundararajan 的工作。