多维随机傅里叶级数的临界点：方差估计

对于任意正数 $\varepsilon$ 和任意非负偶 Schwartz 函数 $w:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，我们关联一个定义在 $m$-环面 $T^m_\varepsilon:=\mathbb{R}^m/(\varepsilon^{-1}\mathbb{Z})^m$ 上的随机函数 $u^\varepsilon$，该函数定义为随机傅里叶级数 $$\sum_{\nu\in\mathbb{Z}^m} X_{\nu,\varepsilon} \exp\bigl(\; 2\pi \varepsilon \sqrt{-1} \;(\nu\cdot \theta)\;\bigr)$$ 的实部，其中 $X_{\nu,\varepsilon}$ 是方差为 $w(\varepsilon|\nu|)$ 的独立复高斯随机变量。令 $N^\varepsilon$ 表示 $u^\varepsilon$ 的临界点数量。我们明确描述了两个常数 $C, C'$，使得当 $\varepsilon$ 趋于零时，随机变量 $\frac{1}{{\rm vol}\,(T^m_\varepsilon)}N^\varepsilon$ 的期望收敛于 $C$，而其方差极小，表现为 $C'\varepsilon^{m}$。