多维随机傅里叶级数的临界点：中心极限定理

我们研究了 $m$ 维环面 $\mathbb{T}^m_\hbar := \mathbb{R}^m / (\hbar^{-1}\mathbb{Z})^m$ 上某些高斯随机光滑函数族 $X^\hbar$（$0 < \hbar \ll 1$）的临界点。我们证明，对于任意大小小于 $1/2$ 且以原点为中心的立方体 $B \subset \mathbb{R}^m$，$X^\hbar$ 在区域 $\hbar^{-1}B / (\hbar^{-1}\mathbb{Z})^m \subset \mathbb{T}^m_\hbar$ 中的临界点数量，其均值渐近于 $c_1 \hbar^{-m}$，方差渐近于 $c_2 \hbar^{-m/2}$（$c_1, c_2 > 0$），并且当 $\hbar \searrow 0$ 时满足中心极限定理。