独立随机乘积之和的极限分布

设$\{X_{i,j}:(i,j)\in\mathbb N^2\}$为随机变量$X$的独立副本构成的二维阵列，且$\{N_n\}_{n\in\mathbb N}$为一列自然数，满足对某$c>0$有$\lim_{n\to\infty}e^{-cn}N_n=1$。我们主要关注独立随机乘积之和$$Z_n=\sum_{i=1}^{N_n} \prod_{j=1}^{n}e^{X_{i,j}}.$$研究表明，当$n\to\infty$时，$Z_n$的极限性质在两个临界点$c=c_1$和$c=c_2$处发生相变。具体而言，若$c>c_2$，则$Z_n$满足具有通常归一化的中心极限定理；而当$c<c_2$时，极限中出现完全偏斜的$\alpha$稳定律。此外，$Z_n/\mathbb E Z_n$依概率收敛到1当且仅当$c>c_1$。若随机变量$X$为高斯分布，我们恢复了Bovier、Kurkova和Löwe的结果[随机能量模型中自由能的涨落与$p$自旋SK模型。Ann. Probab. 30(2002), 605-651]。