与整数分拆相关的随机序列的非常规极限

我们处理一个与正整数限制分拆相关的整数值随机变量序列 $\{Z_N\}_{N=1}^{\infty}$。我们观察到 $Z_N=X_1+ \ldots + X_N$，其中 $X_j$ 为独立有界随机变量，故 $Z_N$ 具有有限均值 ${\bf E}Z_N$ 与方差 ${\bf Var}Z_N$。我们希望求 ${\hat Z}_N=\left(Z_N-{\bf E}Z_N\right)/{\sqrt{{\bf Var}Z_N}}$ 当 $N \to \infty$ 时的极限分布。虽然在许多情形下极限分布为正态分布，本文建立的主要结果是 ${\hat Z}_N \overset{d}{\to} Z_{*}$，其中 $Z_{*}$ 为有界随机变量。我们显式给出了 $Z_*$ 的值域并推导了其分布的一些性质。所用主要工具为所涉及的随机变量的矩生成函数、累积量生成函数、矩与累积量。文中亦讨论了有用的相关主题。