某些离散多元分布的极限定律

设 $X_1,\,X_2,\,\ldots,\,X_N$，$N\in\mathbb{N}$ 为独立但不一定同分布的离散整值随机变量。假设几乎必然有 $X_1\geqslant m_1$，$X_2\geqslant m_2$，$\ldots$，$X_N\geqslant m_N$，其中 $m_1,\,m_2,\ldots,m_N$ 为满足 $m_1+m_2+\ldots+m_N<0$ 的整数，且在序列 $X_1,\,X_2,\,\ldots$ 中对所有 $k\in\mathbb{N}$ 有 $X_k$ 与 $X_{k+N}$ 同分布。本文利用一些已知结果，通过以下途径提供极限多元分布函数 $\mathbb{P}(X_1\leqslant x,\,X_1+X_2\leqslant x,\,\ldots)$（$x\in\mathbb{Z}$）的闭式表达式：(1) 基于容斥原理的 $G_{N}(s)=1$ 的根的乘积，其中 $G_{N}(s)$ 是 $S_N=X_1+X_2+\ldots+X_N$ 的概率生成函数；(2) $S_N$ 的概率质量函数；以及 (3) 期望 $\mathbb{E}S_N$。