自共轭分拆中挂钩的分布

我们确认了关于自共轭分拆中 $t$-挂钩分布的猜想，即大小为 $n$ 的自共轭分拆中长度为 $t$ 的挂钩数量在渐近上服从正态分布，其均值为 $\mu_t(n) \sim \frac{\sqrt{6n}}{\pi} + \frac{3}{\pi^2} - \frac{t}{2}+\frac{\delta_t}{4}$，方差为 $\sigma_t^2(n) \sim \frac{(\pi^2 - 6) \sqrt{6n}}{\pi^3}$，其中 $\delta_t:=1$ 当 $t$ 为奇数时为 1，否则为 0。