由Hilbert概形与钩长引出的分拆上的分布

代数组合、代数几何、数论与拓扑交叉处近期的研究给出了整数分拆上新的整值不变量。按这些不变量在同余类中对分拆排序并考察其分布是自然的。我们考虑由Nekrasov-Okounkov钩积公式的推广以及$\mathbb{C}^2$上n点各种Hilbert概形的Betti数所引出的显著情形。对于Hilbert概形，我们证明了当$n\to \infty$时同调是等分布的。对于$t$-钩，我们证明了通常并非等分布的分布。当$t\in \{2, 3\}$的情形尤为突出，因为存在此类计数为零的同余类。为获得这些分布，我们得到了具有独立意义的解析结果。我们确定了普遍存在的无穷乘积$$F_1(\xi; q):=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\xi q^n\right), \ \ \ F_2(\xi; q):=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-(\xi q)^n\right) \ \ \ {\text {and}}\ \ \ F_3(\xi; q):=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\xi^{-1}(\xi q)^n\right).$$在单位根附近处的渐近性。