$n$ 点 Hilbert 概形的极限 Betti 分布

Hausel 与 Rodriguez-Villegas 最近观察到，Göttsche 的工作结合 Erdős 与 Lehner 关于整数分拆的经典结果，意味着当 $n\rightarrow +\infty$ 时，$n$ 点上 Hilbert 概形 $(\mathbb{C}^2)^{[n]}$ 的极限 Betti 分布为 \textit{Gumbel 分布}。鉴于此例，他们追问更多此类 Betti 分布。我们回答了由环面作用截出的拟齐次 Hilbert 概形 $((\mathbb{C}^2)^{[n]})^{T_{\alpha,\beta}}$ 的这一问题。我们证明其极限分布亦为 Gumbel 型。为得此结果，我们结合了 Buryak、Feigin 与 Nakajima 关于这些 Hilbert 概形的工作，以及我们对 Erdős 与 Lehner 结果的推广，该推广给出了部分为某个固定整数 $A\geq 2$ 倍数的分拆中部分数的分布。此外，若 $p_k(A;n)$ 表示恰有 $k$ 个为 $A$ 倍数部分的 $n$ 分拆数，则我们得到渐近式 $$p_k(A,n)\sim \frac{24^{\frac k2-\frac14}(n-Ak)^{\frac k2-\frac34}}{\sqrt2\left(1-\frac1A\right)^{\frac k2-\frac14}k!A^{k+\frac12}(2\pi)^k}e^{2\pi\sqrt{\frac1{6}\left(1-\frac1A\right)(n-Ak)}},$$ 此结果本身具独立意义。