曲面上的点 Hilbert 格式与多重 q-ζ 值

对于光滑射影曲面 $X$ 上的线丛 $L$ 和非负整数 $k_1, \ldots, k_N$，Okounkov \cite{Oko} 引入了 $X$ 上点 Hilbert 格式的 tautological 丛的陈示性类与这些 Hilbert 格式的切丛全陈类的交数的约化生成级数 $\big \langle {\rm ch}_{k_1}^{L} \cdots {\rm ch}_{k_N}^{L} \big \rangle'$，并猜想它们是权至多为 $\sum_{i=1}^N (k_i + 2)$ 的多重 $q$-ζ 值。第二作者进一步在 \cite{Qin2} 中猜想：若 $X$ 的典范除子数值平凡，则这些约化生成级数是拟模形式。在本文中，我们验证了关于 $\big \langle {\rm ch}_2^{L} \big \rangle'$ 的这两个猜想。主要方法是应用 \cite{QY} 中给出的步骤，并建立多重 $q$-ζ 值与拟模形式的各种恒等式。